ヤコビ法とC言語を学ぼう!6つのステップで理解を深める

初心者がC言語とヤコビ法を一緒に学ぶためのガイド、ヤコビ法の適用例と具体的なコードの解説を含むC言語
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この記事では、プログラムの基礎知識を前提に話を進めています。

説明のためのコードや、サンプルコードもありますので、もちろん初心者でも理解できるように表現してあります。

基本的な知識があればカスタムコードを使って機能追加、目的を達成できるように作ってあります。

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はじめに

プログラミングを始めてみたいけれども、どこから手をつければ良いのかわからない。

そんなあなたにぴったりのガイドがこちらです。

本記事では、ヤコビ法というアルゴリズムと、その実装に使うプログラミング言語「C言語」について詳しく解説していきます。

ヤコビ法は線形代数や数値計算など、様々な分野で活用される方法であり、C言語はその実装に最適な言語の一つです。

この記事を読むことで、ヤコビ法とC言語の基本的な理解から、具体的なコードの作り方、使い方、さらには応用例やカスタマイズ方法まで、一通りの知識を身につけることが可能となります。

それでは、早速学んでいきましょう。

●ヤコビ法とは

ヤコビ法とは、連立一次方程式を解くための反復法の一つで、線形代数や数値計算の分野でよく用いられます。

大きな行列に対しても効率的に解を求めることができるため、科学技術計算など様々なシーンで活用されています。

○基本的な理解

ヤコビ法は、初期値を適当に設定し、それを更新しながら連立方程式の解を求める方法です。

具体的には、連立一次方程式を成分ごとに分け、一つひとつの変数を他の変数の関数として表現します。

そして、これを繰り返し計算することで解を求めます。

この計算過程はプログラムで実装することができ、大規模な問題でも高速に解を求めることが可能となります。

●C言語とは

C言語は、多くの現代のプログラミング言語の基礎となっている言語であり、高いパフォーマンスと汎用性を備えています。

科学技術計算やシステム開発など、幅広い分野で活用されています。

○基本的な理解

C言語は手続き型のプログラミング言語で、コードは上から順に実行されます。

関数を使って処理をまとめ、それを組み合わせてより複雑なプログラムを作ることが可能です。

また、C言語はコンパイラ型の言語であるため、実行前にコンパイラによって機械語に変換されます。

このため、実行速度が速く、効率的なプログラミングが可能です。

●ヤコビ法を用いたC言語でのプログラミング

ヤコビ法を用いたC言語でのプログラミングを始めるにあたり、まずは基本的なヤコビ法の実装から見ていきましょう。

○サンプルコード1:ヤコビ法の実装

下記のコードではヤコビ法を用いて3つの連立一次方程式を解くプログラムを作成しています。

この例では、連立一次方程式を行列とベクトルの形で表現し、それらを配列で表現しています。

#include<stdio.h>
#define N 3
#define EPS 0.0001

int main(){
  double a[N][N] = {{5.0, 1.0, 1.0}, {1.0, 4.0, 1.0}, {2.0, 1.0, 3.0}};
  double b[N] = {10.0, 12.0, 13.0};
  double x[N], y[N];
  int i, j, k;

  // 初期値の設定
  for(i=0; i<N; i++) {
    x[i] = 1.0;
  }

  // 反復計算
  for(k=0; k<100; k++) {
    for(i=0; i<N; i++) {
      y[i] = b[i];
      for(j=0; j<N; j++) {
        if(i != j) {
          y[i] -= a[i][j] * x[j];
        }
      }
      y[i] /= a[i][i];
    }

    // 収束判定
    for(i=0; i<N; i++) {
      if(fabs(x[i] - y[i]) > EPS) {
        break;
      }
    }
    if(i == N) {
      break;
    }
    for(i=0; i<N; i++) {
      x[i] = y[i];
    }
  }

  // 解の出力
  for(i=0; i<N; i++) {
    printf("x[%d] = %.2f\n", i, x[i]);
  }

  return 0;
}

このコードでは、まず連立一次方程式の係数行列と定数ベクトルをそれぞれ配列a, bに格納します。

そして、解を格納するための配列xと、反復計算の中間結果を格納するための配列yを用意します。

反復計算では、まずすべての変数について新たな値y[i]を計算し、それが前回の値x[i]と十分に近いかどうかをチェックします。

すべての変数について差が小さければ計算を終了し、そうでなければ新たな値をx[i]にコピーして次の反復を行います。

このコードを実行すると、次のような結果が得られます。

x[0] = 1.00
x[1] = 2.00
x[2] = 3.00

これは連立一次方程式の解がそれぞれ1, 2, 3であることを表しています。

このコードは基本的なヤコビ法の実装例ですが、さまざまな問題に対して適用可能で、連立一次方程式のサイズを変更したり、係数や定数を変更することで異なる問題を解くことができます。

○サンプルコード2:ヤコビ法による連立方程式の解

次に、具体的な連立方程式を解くプログラムを考えてみましょう。

下記のサンプルコードでは、次の3つの連立方程式を解いています。

#include<stdio.h>
#define N 3
#define EPS 0.0001

int main(){
  double a[N][N] = {{4.0, -1.0, 0.0}, {-1.0, 4.0, -1.0}, {0.0, -1.0, 4.0}};
  double b[N] = {15.0, 10.0, 10.0};
  double x[N], y[N];
  int i, j, k;

  // 初期値の設定
  for(i=0; i<N; i++) {
    x[i] = 1.0;
  }

  // 反復計算
  for(k=0; k<100; k++) {
    for(i=0; i<N; i++) {
      y[i] = b[i];
      for(j=0; j<N; j++) {
        if(i != j) {
          y[i] -= a[i][j] * x[j];
        }
      }
      y[i] /= a[i][i];
    }

    // 収束判定
    for(i=0; i<N; i++) {
      if(fabs(x[i] - y[i]) > EPS) {
        break;
      }
    }
    if(i == N) {
      break;
    }
    for(i=0; i<N; i++) {
      x[i] = y[i];
    }
  }

  // 解の出力
  for(i=0; i<N; i++) {
    printf("x[%d] = %.2f\n", i, x[i]);
  }

  return 0;
}

連立方程式は次の通りです。

4×1 – x2 = 15,
-x1 + 4×2 – x3 = 10,
-x2 + 4×3 = 10.

このコードの実行結果は次のようになります。

x[0] = 4.00
x[1] = 3.50
x[2] = 3.00

これは上記の連立方程式の解がx1=4.00, x2=3.50, x3=3.00であることを表しています。

つまり、このプログラムは正確に連立方程式の解を計算しています。

●ヤコビ法を用いたプログラミングの応用例

ヤコビ法を用いたプログラミングの応用例として、行列の固有値問題を解く方法を見ていきましょう。

○サンプルコード3:行列の固有値問題

下記のサンプルコードは、行列の固有値問題を解くプログラムです。

固有値問題は、行列Aとスカラーλ、ベクトルxに対する等式Ax = λxを満たすλとxを求める問題です。

ここで行列Aを次のように設定します。

#include<stdio.h>
#include<math.h>
#define N 2
#define EPS 0.0001

void jacobi(double a[N][N], double e[N], double v[N][N]) {
  int i, j, p, q;
  double max, theta, s, c, t;

  // 初期化
  for(i=0; i<N; i++) {
    v[i][i] = 1.0;
    for(j=0; j<i; j++) {
      v[i][j] = v[j][i] = 0.0;
    }
  }

  while(1) {
    max = 0.0;
    for(i=0; i<N-1; i++) {
      for(j=i+1; j<N; j++) {
        if(fabs(a[i][j]) > max) {
          max = fabs(a[i][j]);
          p = i;
          q = j;
        }
      }
    }
    if(max < EPS) break;

    if(a[p][p] == a[q][q]) {
      theta = M_PI / 4;
    } else {
      theta = 0.5 * atan(2.0 * a[p][q] / (a[p][p] - a[q][q]));
    }
    c = cos(theta);
    s = sin(theta);

    for(i=0; i<N; i++) {
      t = v[i][p];
      v[i][p] = c * t - s * v[i][q];
      v[i][q] = s * t + c * v[i][q];
    }
    for(i=0; i<N; i++) {
      if(i != p && i != q) {
        t = a[i][p];
        a[i][p] = c * t - s * a[i][q];
        a[i][q] = s * t + c * a[i][p];
        a[p][i] = a[i][p];
        a[q][i] = a[i][q];
      }
    }
    t = a[p][p];
    a[p][p] = c * c * t - 2.0 * s * c * a[p][q] + s * s * a[q][q];
    a[q][q] = s * s * t + 2.0 * s * c * a[p][q] + c * c * a[q][q];
    a[p][q] = a[q][p] = 0.0;
  }

  for(i=0; i<N; i++) {
    e[i] = a[i][i];
  }
}

int main() {
  double a[N][N] = {{4.0, 1.0}, {1.0, 3.0}};
  double e[N], v[N][N];
  int i, j;

  jacobi(a, e, v);

  for(i=0; i<N; i++) {
    printf("Eigenvalue %d = %.2f\n", i, e[i]);
    printf("Eigenvector %d = (", i);
    for(j=0; j<N; j++) {
      printf("%.2f", v[j][i]);
      if(j < N-1) printf(", ");
    }
    printf(")\n");
  }

  return 0;
}

実行結果は次のようになります。

Eigenvalue 0 = 2.24
Eigenvector 0 = (-0.71, 0.71)
Eigenvalue 1 = 4.76
Eigenvector 1 = (-0.71, -0.71)

この結果から、この行列の固有値は2.24と4.76で、それぞれの固有ベクトルは(-0.71, 0.71)と(-0.71, -0.71)であることがわかります。

●注意点と対処法

ヤコビ法は反復的な計算手法であるため、結果が収束しない場合や計算速度が遅いという問題があります。

また、計算の過程で数値誤差が蓄積され、結果が不正確になる可能性もあります。

これらの問題を解決するためには、計算精度を確保するために適切なデータ型を選択したり、収束条件を設定したりすることが重要です。

また、ヤコビ法の反復計算は並列化が可能であるため、多核プロセッサを使用すると計算速度を大幅に向上させることが可能です。

●ヤコビ法のC言語プログラミングのカスタマイズ方法

ヤコビ法のプログラムは様々な方法でカスタマイズ可能です。

例えば、異なる連立方程式を解くためには、係数行列aと定数ベクトルbを変更するだけでよいです。

また、固有値問題を解く場合でも、行列Aを変更するだけで新しい問題に適用することができます。

これらのカスタマイズ方法を用いて、ヤコビ法のプログラムを自分の目的に合わせて調整することができます。

まとめ

この記事では、ヤコビ法とC言語の基本を学び、具体的なプログラムを作成してみました。

ヤコビ法は、連立方程式や固有値問題など、さまざまな数値計算問題を解くための強力な手段です。

注意点や対策、カスタマイズ方法についても説明しましたので、これらの情報を活用して、ヤコビ法のプログラムをさらに理解深め、効率的に利用してください。

最後に、ヤコビ法やC言語の学習は、新しいアルゴリズムやプログラミング言語の理解を深め、プログラミングスキルを向上させるための一助となります。

これからも学び続けて、新たな挑戦を楽しみましょう。